Периметр — это сумма длин всех сторон плоской фигуры. Простая формула используется не только на уроках математики, ее также применяют в быту, определяя длину забора вокруг участка, метраж бордюра для клумбы или количество плинтуса для комнаты. Формулы для основных фигур, особенности их применения, примеры задач — в материале РИА Новости.
Что такое периметр фигуры
Геометрические фигуры на столе
Слово "периметр" пришло из греческого языка: περίμετρον дословно означает "измерение вокруг": "пери" — это "вокруг", а "метрон" — "мера". Периметр обозначают буквой P и измеряют в тех же единицах, что и длину стороны, — сантиметрах, метрах, миллиметрах, — чтобы определить общую длину границы любой замкнутой плоской фигуры.
Проще всего представить периметр как забор: если обойти границу участка целиком и сложить длину каждого отрезка, получится именно периметр. Тот же принцип работает в самых разных бытовых задачах:
- сколько метров сетки-рабицы нужно купить, чтобы обнести дачный участок;
- сколько лент или багета уйдет на украшение прямоугольной фоторамки;
- сколько погонных метров бордюрного камня потребуется для клумбы или дорожки.
Важно! Периметр не стоит путать с площадью: периметр — это длина границы фигуры, а площадь — размер поверхности внутри нее, и измеряется она уже в квадратных единицах. Два прямоугольника с одинаковым периметром вполне могут иметь разную площадь: у прямоугольника 2×8 периметр 20, у прямоугольника 5×5 — тоже 20, а вот площади различаются вдвое.
Как найти периметр фигуры
Если фигура состоит из прямых отрезков (как большинство геометрических форм), то периметр — это сумма длин всех ее сторон. "Представьте, что вы раскладываете все стороны фигуры в одну длинную линию — длина этой линии и будет периметром", — поясняет Илья Печеский, преподаватель профильной математики онлайн-школы подготовки к ОГЭ и ЕГЭ "100балльный репетитор".
Формулы периметра геометрических фигур
Для отдельных фигур общую формулу сложения сторон удобно свести к более коротким выражениям.
Как найти периметр треугольника
© Фото : Сгенерировано искусственным интеллектом
Формула нахождения периметра треугольника
Периметр треугольника равен сумме трех сторон: P = a + b + c. Для других типов треугольников:
- равносторонний — P = 3a (например, при стороне 5 см: P = 15 см);
- равнобедренный с основанием b и боковыми сторонами a — P = 2a + b (например, боковые стороны по 10 см, основание 8 см: P = 2×10 + 8 = 20 + 8 = 28 см.
"Задачи с неизвестными сторонами иногда содержат ловушку: не любые три числа образуют реальный треугольник", — отмечает Илья Печеский. Например, треугольника со сторонами 5, 5 и 10 см не существует — сумма двух меньших сторон должна быть больше третьей, а здесь 5 + 5 равно 10, а не больше.
Как найти периметр квадрата
У квадрата все четыре стороны равны, поэтому формула — самая простая: P = 4a. Например, при стороне 6 см периметр составит 24 см.
Как найти периметр прямоугольника
У прямоугольника тоже четыре стороны и прямые углы, но равны только противоположные стороны. Поэтому у него есть длина (обычно обозначается как a) и ширина (обычно b). Периметр у фигуры находят по формуле P = 2(a + b).
Пример из жизни: рамка для фотографии размером 20 на 30 см потребует 2 × (20 + 30) = 100 см багета, то есть ровно метр.
Формула нахождения периметра многоугольника
Как найти периметр многоугольника
Для многоугольника с произвольными сторонами действует общее правило: сложить длины всех сторон — P = s₁ + s₂ + … + sₙ.
Пример: у коврика в форме неправильного пятиугольника со сторонами 3, 2,5, 4, 1,5 и 5 м периметр равен 16 м.
Если же многоугольник правильный, то есть все его стороны равны, формула короче: P = n × a, где n — число сторон.
Пример: у декоративной подставки в форме правильного шестиугольника со стороной 15 см периметр составит 6 × 15 = 90 см.
Как найти периметр сложной фигуры
Если фигура не сводится к простому многоугольнику — например, участок Г-образной формы, — периметр все равно находят, обходя контур по внешней границе и складывая длины всех отрезков; внутренние линии среза в расчет не идут. "Часто в задачах даны не все стороны — часть из них приходится вычислять через уже известные размеры", — уточняет Татьяна Сулейманова, преподаватель и методист по математике в онлайн-школе "Тетрика".
"У вас есть Г-образная клумба. Представьте, что это был большой прямоугольник, из которого вырезали меньший прямоугольник из угла. Пусть большой прямоугольник имел стороны 10 м и 8 м. Вырезанный кусок — 3 м на 4 м. Ваша Г-образная клумба будет иметь 6 внешних сторон: 10 м, 8 м, 10 — 3 = 7 м, 8 — 4 = 4 м, 3 м, 4 м. Сложим: P = 10 + 8 + 7 + 4 + 3 + 4 = 36 м. Получается если все углы прямые, периметр такой Г-образной фигуры будет равен периметру исходного большого прямоугольника: P = 2 × (10 + 8) = 2 × 18 = 36 м", — объясняет на примере Иван Печеский.
Примеры решения задач на нахождение периметра
Задача 1. Сторона квадратной клумбы — 4 м. Сколько метров бордюра понадобится?
Решение: P = 4 × 4 = 16 м.
Задача 2 (неизвестная сторона). Периметр прямоугольного бассейна — 60 м, а его длина на 10 м больше ширины. Найдите длину и ширину.
Решение. Обозначим ширину как x, тогда длина — x + 10. Подставляем в формулу:
- 60 = 2 × ((x + 10) + x);
- 60 = 2 × (2x + 10);
- 30 = 2x + 10;
- x = 10 м — это ширина, а длина составит 10 + 10 = 20 м.
Проверка: 2 × (20 + 10) = 60 — сходится.
Задача 3 (сложная фигура). Участок 30 × 20 м, в углу которого стоит квадратный сарай 5 × 5 м. Сколько метров сетки нужно, чтобы огородить участок, не ставя забор вдоль стен сарая?
Решение. Две стороны участка (30 и 20 м) остаются полными, а две другие "теряют" по 5 м из-за примыкающего сарая: 30 — 5 = 25 м и 20 − 5 = 15 м. Складываем длины забора: 30 + 20 + 25 + 15 = 90 м.
Кратко о главном: как найти периметр любой фигуры
Урок математики в школе
Периметр — сумма длин всех сторон замкнутой фигуры. Что нужно знать:
- Универсальный способ подходит для любой фигуры: сложить длины всех сторон.
- Для типовых фигур есть короткие формулы: треугольник — P = a + b + c, квадрат — P = 4a, прямоугольник — P = 2(a + b), правильный многоугольник — P = n × a.
- В задачах с неизвестной стороной периметр помогает составить уравнение и найти нужную величину.
- У сложных фигур периметр находят обходом внешнего контура, складывая все отрезки границы, включая довычисленные.
