Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число. Это число называют знаменателем прогрессии и обозначают буквой q. Зная первый член и знаменатель, можно найти любой член последовательности, вычислить сумму первых n членов и решить другие задачи с помощью специальных формул. Основные свойства геометрической прогрессии, примеры решения задач и советы преподавателя — в материале РИА Новости.
Что такое геометрическая прогрессия
© Shutterstock/FOTODOM / BlueRingMedia
Урок геометрии в школе
Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число q. Это число называют знаменателем геометрической прогрессии.
Например, последовательность 2, 6, 18, 54, 162, … является геометрической прогрессией. Каждый следующий член получается умножением предыдущего на 3:
- 6 = 2 · 3;
- 18 = 6 · 3;
- 54 = 18 · 3;
- 162 = 54 · 3.
Следовательно, знаменатель этой прогрессии равен q = 3.
Члены геометрической прогрессии обозначают буквой b с индексом, который указывает порядковый номер числа. Например, b₁ — первый член, b₂ — второй, b₃ — третий, а bₙ — член с номером n.
Основные обозначения:
- b₁ — первый член геометрической прогрессии;
- bₙ — член прогрессии с номером n;
- q — знаменатель геометрической прогрессии;
- n — номер искомого члена или количество членов, сумму которых нужно найти.
Основное правило геометрической прогрессии можно записать так:
bₙ₊₁ = bₙ · q
Например, если b₁ = 4, а q = 2, последовательность будет выглядеть так: 4, 8, 16, 32, 64, …
Геометрическая прогрессия может возрастать, убывать, чередовать положительные и отрицательные члены или оставаться постоянной. Ее поведение зависит от значения знаменателя и первого члена.
"В арифметической прогрессии к каждому следующему члену прибавляют одно и то же число, а вот в геометрической — умножают на одно и то же число. Если первый член равен b₁, то любой следующий можно найти по формуле bₙ = b₁ × qⁿ⁻¹. Но школьнику важнее сначала понять сам принцип, а уже потом запоминать формулу.
Геометрическая прогрессия встречается не только в задачах из учебника. По такому принципу можно описывать рост вклада при начислении процентов, увеличение числа пользователей сервиса, распространение информации или, наоборот, уменьшение некоторой величины в несколько раз за каждый период.
Если q больше 1, положительные члены прогрессии растут. Если q находится между 0 и 1, они постепенно уменьшаются, а при отрицательном q знаки членов чередуются.
Чаще всего ошибки возникают из-за того, что ученик пытается искать разность соседних чисел, как в арифметической прогрессии. Здесь нужно смотреть не на разность, а на отношение, то есть во сколько раз следующий член отличается от предыдущего", — уточняет кандидат экономических наук, доцент кафедры бизнес-информатики факультета информационных технологий и анализа больших данных Финансового университета при Правительстве России Лилия Ежова.
Формулы геометрической прогрессии
© Shutterstock/FOTODOM / Parkova
Школьница решает задачу
Основные формулы позволяют находить отдельные члены геометрической прогрессии, сумму первых нескольких членов и знаменатель. Чтобы выбрать подходящую формулу, сначала нужно определить, какие данные известны в задаче и что требуется найти.
Формула общего члена геометрической прогрессии
Чтобы найти любой член геометрической прогрессии по первому члену и знаменателю, используют формулу общего члена:
bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹
В формуле:
- bₙ — искомый член прогрессии;
- b₁ — первый член;
- q — знаменатель прогрессии;
- n — номер искомого члена.
Показатель степени равен n − 1, потому что для перехода от первого члена ко второму нужно один раз умножить на q, к третьему — два раза, к четвертому — три раза. Поэтому для нахождения члена с номером n знаменатель возводят в степень n − 1.
Пример. Найдем шестой член геометрической прогрессии, если b₁ = 2, а q = 3.
Подставим известные значения:
b₆ = 2 · 3⁵
b₆ = 2 · 243 = 486
Ответ: 486.
Формула общего члена особенно полезна, когда требуется найти далеко расположенный член последовательности. С ее помощью не нужно последовательно вычислять все предыдущие члены.
Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии
Чтобы найти сумму первых n членов геометрической прогрессии, используют формулу:
Sₙ = b₁ · (qⁿ − 1) / (q − 1), если q ≠ 1
Здесь:
- Sₙ — сумма первых n членов;
- b₁ — первый член;
- q — знаменатель прогрессии;
- n — количество слагаемых.
Эту же формулу можно записать иначе:
Sₙ = b₁ · (1 − qⁿ) / (1 − q), если q ≠ 1
Обе записи равнозначны. Выбирать можно любую из них.
Пример. Найдем сумму первых пяти членов прогрессии 2, 6, 18, 54, 162, …
Известно, что b₁ = 2, q = 3, n = 5. Подставим значения в формулу:
S₅ = 2 · (3⁵ − 1) / (3 − 1)
S₅ = 2 · (243 − 1) / 2 = 242
Проверим результат сложением членов:
2 + 6 + 18 + 54 + 162 = 242
Ответ: 242.
© Shutterstock/FOTODOM / Taras Grebinets
Урок геометрии
Если q = 1, все члены прогрессии равны первому члену. В этом случае формулу с делением на q − 1 применять нельзя, поскольку знаменатель дроби будет равен нулю. Сумму находят по формуле:
Sₙ = n · b₁
Например, в последовательности 4, 4, 4, 4, 4, … сумма первых пяти членов равна:
S₅ = 5 · 4 = 20
Формула знаменателя геометрической прогрессии
Если известны два соседних члена геометрической прогрессии и предыдущий член не равен нулю, знаменатель можно найти, разделив следующий член на предыдущий:
q = bₙ₊₁ / bₙ, если bₙ ≠ 0
Например, дана последовательность 5, 15, 45, 135, … Найдем ее знаменатель:
q = 15 / 5 = 3
Проверим результат по следующей паре соседних членов:
q = 45 / 15 = 3
Отношение одинаково, поэтому найденный знаменатель соответствует последовательности.
Если известны первый и второй члены, формула принимает вид:
q = b₂ / b₁, если b₁ ≠ 0
Важно помнить, что делить на ноль нельзя. Если предыдущий член равен нулю, найти q таким способом невозможно. Например, у последовательности 0, 0, 0, 0, … все члены равны нулю при любом фиксированном значении q. Чтобы определить знаменатель, в таком случае нужны дополнительные сведения.
Свойства геометрической прогрессии
Геометрическая прогрессия обладает несколькими свойствами, которые помогают находить пропущенные члены, проверять последовательности и определять характер их изменения.
1. Каждый следующий член равен предыдущему, умноженному на знаменатель.
Основное свойство записывается так:
bₙ₊₁ = bₙ · q
Например, если b₁ = 4, а q = 2, то последовательность начинается числами 4, 8, 16, 32, 64, …
2. Квадрат каждого члена равен произведению соседних с ним членов.
© Shutterstock/FOTODOM / Rawpixel.com
Экзамен в школе
Для любого внутреннего члена геометрической прогрессии выполняется характеристическое свойство:
bₙ² = bₙ₋₁ · bₙ₊₁
Например, в последовательности 2, 6, 18, … для среднего числа 6 получаем:
6² = 2 · 18 = 36
Это свойство позволяет проверять геометрические прогрессии и находить пропущенные члены. Однако при наличии нулевых членов одной такой проверки может быть недостаточно: необходимо также убедиться, что все члены связаны одним и тем же знаменателем q.
3. Возрастание и убывание зависят от знаменателя и первого члена.
Рассмотрим основные случаи.
- Если q > 1, абсолютные значения ненулевых членов увеличиваются. При положительном первом члене прогрессия строго возрастает. Например, 2, 4, 8, 16, … При отрицательном первом члене она строго убывает: −2, −4, −8, −16, …
- Если 0 < q < 1, абсолютные значения членов уменьшаются и приближаются к нулю. При положительном первом члене прогрессия строго убывает: 16, 8, 4, 2, 1, … При отрицательном первом члене она возрастает: −16, −8, −4, −2, −1, …
- Если q < 0, знаки соседних ненулевых членов чередуются. Например, 3, −6, 12, −24, … при q = −2. Такая последовательность не является ни возрастающей, ни убывающей. Если |q| > 1, абсолютные значения членов увеличиваются; если 0 < |q| < 1, уменьшаются. При q = −1 ненулевые члены чередуются, сохраняя абсолютную величину.
- Если q = 1, все члены равны первому: 7, 7, 7, 7, … Это постоянная последовательность, а сумма первых n членов равна n · b₁.
- Если q = 0, последовательность имеет вид b₁, 0, 0, 0, … Если первый член тоже равен нулю, все члены последовательности равны нулю.
Если b₁ = 0, все члены геометрической прогрессии равны нулю независимо от значения знаменателя.
Как решать задачи на геометрическую прогрессию
© Shutterstock/FOTODOM / Cira123
Преподаватель занимается с учеником математикой
При решении задачи сначала определите, какие величины известны и что требуется найти. Затем выберите подходящую формулу, подставьте данные и проверьте результат.
Основные типы задач:
- Найти член прогрессии. Если известны b₁, q и номер n, используют формулу bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹.
- Найти знаменатель. Если известны два соседних члена и предыдущий член отличен от нуля, применяют формулу q = bₙ₊₁ / bₙ.
- Найти сумму первых членов. Если известны b₁, q и n, используют формулу суммы. При q = 1 применяют Sₙ = n · b₁.
- Восстановить пропущенные члены. Нужно определить возможный знаменатель и умножить известные члены на него или использовать формулу общего члена. Если условия допускают несколько значений q, необходимо рассмотреть все варианты.
- Проверить, является ли последовательность геометрической. Для ненулевых соседних членов сравнивают отношения следующего члена к предыдущему. Если отношение постоянно, последовательность является геометрической. При наличии нулей нужно дополнительно проверить, существует ли одно значение q, для которого выполняется равенство bₙ₊₁ = bₙ · q на каждом шаге.
Примеры задач на геометрическую прогрессию с решениями
Ниже — несколько задач, которые помогут понять и запомнить формулы геометрической прогрессии.
Задача 1. Найти член геометрической прогрессии
Дана геометрическая прогрессия, в которой b₁ = 3, а q = 2. Найдите седьмой член.
Решение.
Используем формулу общего члена:
bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹
Подставим значения:
b₇ = 3 · 2⁶
b₇ = 3 · 64 = 192
Ответ: 192.
Задача 2. Найти сумму первых членов
© Shutterstock/FOTODOM / Taras Grebinets
Школьница на уроке
Первый член геометрической прогрессии равен 4, знаменатель равен 3. Найдите сумму первых четырех членов.
Решение.
Известно, что b₁ = 4, q = 3, n = 4. Применим формулу суммы:
Sₙ = b₁ · (qⁿ − 1) / (q − 1)
Подставим данные:
S₄ = 4 · (3⁴ − 1) / (3 − 1)
S₄ = 4 · (81 − 1) / 2 = 160
Проверим результат: первые четыре члена — 4, 12, 36, 108. Их сумма равна 160.
Ответ: 160.
Задача 3. Определить знаменатель
В геометрической прогрессии второй член равен 12, а третий — 36. Найдите знаменатель.
Решение.
Разделим третий член на второй:
q = b₃ / b₂ = 36 / 12 = 3
Проверка: 12 · 3 = 36, значит, найденный знаменатель подходит.
Ответ: 3.
Задача 4. Восстановить пропущенные члены
Дана последовательность 5, …, 45, …, 405. Известно, что это геометрическая прогрессия. Найдите пропущенные числа.
Решение.
Между первым и третьим членами два шага, поэтому:
b₃ = b₁ · q²
Подставим известные значения:
45 = 5 · q²
q² = 9
Отсюда q = 3 или q = −3. Проверим оба варианта.
При q = 3 получаем:
5, 15, 45, 135, 405
При q = −3 получаем:
5, −15, 45, −135, 405
Обе последовательности удовлетворяют условию, поскольку в каждом случае знаменатель постоянен.
Ответ: 15 и 135 либо −15 и −135. Без дополнительного условия о знаке знаменателя возможны оба варианта.
Задача 5. Проверить, является ли последовательность геометрической
© Shutterstock/FOTODOM / Studio Romantic
Мама с дочкой собирают рюкзак
Определите, является ли последовательность 4, 12, 36, 108, … геометрической.
Решение.
Найдем отношения соседних членов:
12 / 4 = 3
36 / 12 = 3
108 / 36 = 3
Все отношения одинаковы. Значит, каждый следующий член получается умножением предыдущего на 3.
Ответ: да, последовательность является геометрической, ее знаменатель равен 3.
Главное о геометрической прогрессии
Геометрическая прогрессия — это последовательность, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего на постоянное число q.
Чтобы найти член с номером n, используют формулу bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹, а для вычисления суммы первых n членов при q ≠ 1 — формулу Sₙ = b₁ · (qⁿ − 1) / (q − 1). Если q = 1, сумма равна n · b₁.
Знаменатель можно найти по отношению соседних членов, если предыдущий член не равен нулю. При решении задач важно учитывать знак знаменателя и первого члена: от них зависит, возрастает ли прогрессия, убывает или чередует знаки.
