Аслан Георгиевич Бжания родился 6 апреля 1963 года в селе Тамыш Очамчырского района Абхазской АССР (ныне Республика Абхазия).
В 1985 году окончил Московский автомобильно-дорожный институт (сейчас Университет МАДИ), в 1991 году – Высшие курсы КГБ СССР, в 1999 году – Академию народного хозяйства при правительстве России (реорганизована в Российскую академию народного хозяйства и государственной службы при президенте РФ).
С 1985 по 1986 год работал инженером-строителем в поселке Угра Смоленской области.
Затем вернулся в Абхазию, где в 1987-1989 годах был инструктором, заведующим отделением Очамчирского райкома комсомола.
С 1991 по 1992 год работал в КГБ Абхазской АССР, с 1992 по 1993 год Бжания служил в органах госбезопасности Абхазии.
С 1994 года занимался бизнесом в России.
В декабре 2008 года был назначен советником по экономическим вопросам посольства Абхазии в Российской Федерации.
В 2010-2014 годы занимал пост председателя Службы государственной безопасности Абхазии.
В мае 2014 года ему было присвоено звание генерал-майор.
В августе 2014 года участвовал в президентских выборах Абхазии, но проиграл Раулю Хаджимбе.
В 2015 году Бжания стал президентом Фонда социально-экономических и политических исследований "АПРА".
В июле 2015 года возглавил Блок оппозиционных сил Абхазии.
В 2017 году был он был избран депутатом VI созыва парламента Абхазии.
В начале января 2020 года после серии протестов Верховный суд Абхазии отменил итоги президентских выборов, которые состоялись в сентябре 2019 года. По итогам второго тура выборов победу одержал действующий глава республики Рауль Хаджимба. ЦИК назначил повторные выборы президента республики на 22 марта.
22 марта 2020 года Аслан Бжания был избран президентом Абхазии, получив 56,5% голосов избирателей.
23 апреля 2020 года вступил в должность президента Республики Абхазия.
В инаугурационной речи заявил, что главная цель государства - преобразование и укрепление ключевых государственных институтов, "в рамках которых возможно сохранение и устойчивое развитие народа Абхазии". Одной из первостепенных задач Бжания для себя определил "восстановление доверия общества к власти". Он также подчеркнул, что приоритетным направлением внешней политики Абхазии было и остается укрепление и развитие всестороннего сотрудничества с главным союзником и стратегическим партнером – Россией.
В середине ноября в Абхазии началось противостояние властей и оппозиции из-за соглашения с РФ об инвестициях, которое предусматривает строительство апартаментов в республике. Сторонники оппозиции считают, что его реализация приведет к подорожанию жилья, а также к рискам для малого и среднего бизнеса в Абхазии. Парламент должен был ратифицировать документ 15 ноября, но отложил рассмотрение вопроса из-за начавшихся протестов. Сторонники оппозиции захватили комплекс правительственных зданий в Сухуме, в том числе и администрацию президента, и потребовали отставки главы государства. В итоге между силовиками и протестующими начались столкновения, закончившиеся тем, что сторонники оппозиции взяли штурмом парламент и администрацию президента. По последним данным, при этом пострадали 14 человек. Манифестанты требовали отставки действующего главы государства Аслана Бжании. Тот согласился покинуть пост, если манифестанты освободят захваченные здания. Но оппозиция отвергла это предложение и заявила, что примет только отставку президента.
19 ноября представители абхазских властей и оппозиции по итогам переговоров подписали соглашение, по которому президент республики Аслан Бжания подает заявление об отставке, а протестующие должны покинуть правительственный комплекс Абхазии.
После заявления об отставке президента Абхазии протестующие начали покидать площадь перед администрацией президента республики.