Будущий народный артист СССР родился в Орехово-Зуеве. Довольно рано проявив интерес к музыке, он в 1934 году окончил Московскую консерваторию по классу Константина Игумнова. Во время учебы в аспирантуре талантливый юноша становится в 1935 году победителем 2-го Всесоюзного конкурса музыкантов-исполнителей и Международного конкурса пианистов в Вене. Через год после окончания аспирантуры Флиер в 1938 году становится обладателем третьей премии на Международном конкурсе пианистов им.Э.Изаи в Брюсселе.
С 1937 года Флиер преподавал в Московской консерватории, где с 1965 года заведовал кафедрой фортепиано. Среди его учеников - Родион Щедрин, Михаил Плетнев.
Концертируя со студенческих лет и имея большой успех у широкой аудитории, Флиер в 1949 году вынужден был оставить концертную эстраду на целое десятилетие, только иногда принимая участие в ансамблях.
Пианист романтического склада, экспрессивный и волевой, Флиер предпочитал крупные формы таких композиторов, как Лист и Рахманинов. В более позднее время много играл также Шумана, Брамса, Шопена. Он стал первым исполнителем цикла "24 прелюдии" Кабалевского.
Умер Флиер в Москве 18 декабря 1977 года.
