Евстигнеев родился и вырос в Нижнем Новгороде. Волею судьбы, в кинотеатре, где он подрабатывал ударником в оркестре, его заметил ректор Горьковского театрального училища Виталий Ленский. Он предложил Евстигнееву стать драматическим актером, и уже через несколько дней тот был зачислен в училище. В 1951 году по распределению актер попадает во Владимирский областной театр. Но мечты о большой сцене приводят его в Москву, где он с первого раза поступает в Школу-студию МХАТ сразу на 2-ой курс. А на 4-ом Евстигнеев оказался уже в числе тех знаменитых студентов, которые создали "Студию молодых актеров", превратившуюся позже в театр "Современник". Здесь он встретил свою будущую жену - однокурсницу Галину Волчек.
"Проснулся знаменитым" он после спектакля "Голый король", а всенародная слава пришла к Евстигнееву после роли начальника пионерлагеря Дынина из кинофильма "Добро пожаловать, или Посторонним вход воспрещен".
Евстигнееву были подвластны самые разные жанры: талант артиста с равной силой проявлялся и в комедийных, и в трагических образах. Он сыграл 55 ролей в театре и 104 роли в кино. Среди самых известных - мудрый и ироничный профессор Преображенский из "Собачьего сердца", "замахивающийся на Шекспира" режиссер из "Берегись автомобиля", вор Ручников из "Место встречи изменить нельзя", нелепый старик Адамыч, который "завсегда с людями" из "Старого Нового года", трогательный и рассеянный профессор Плейшнер из "Семнадцати мгновений весны".
Последней ролью артиста стал царь Иван Грозный в картине "Ермак".
Евстигнеев умер в Англии, куда приехал делать операцию на сердце. Похоронен артист в Москве на Новодевичьем кладбище.
