Дифференциальное и интегральное исчисление для пятилетних детей

Школьники читают книги, архивное фото
Почему игры с использованием алгебраических концепций, а также концепций дифференциального и интегрального исчисления, а вовсе не традиционная арифметическая зубрежка, могут быть более подходящим способом введения детей в мир математики.

Материал подготовлен редакцией ИноСМИ специально для раздела РИА Наука >>

Люба Вангелова (Luba Vangelova)

Знакомая всем иерархическая последовательность обучения математике начинается со счета, затем идет сложение, вычитание, после этого умножение и деление. Вычислительный набор увеличивается, включая в себя все большие и большие числа, и в какой-то момент вводятся также дроби. Затем школьникам  показывают формулы из чисел и букв, и начинается изучение совершенно нового предмета – алгебры. Меньшинство  учеников проходят геометрию, тригонометрию и, наконец, наступает очередь дифференциального и интегрального исчисления, которое считается вершиной математики школьного уровня.

Однако эта последовательность на самом деле «не имеет ничего общего с тем, как люди думают, как дети растут и учатся, а также с тем, каким образом построена математика», — утверждает новатор в области преподавания математики и составитель программ обучения Мария Дружкова (Maria Droujkova). Ее поддерживают люди во многих странах мира, которые хотят революционизировать способ преподавания  математики и привести его в большее соответствие с этими принципами.

Младенец
Ученые: оценить способность ребенка к математике можно в младенчестве
Существующая в настоящее время последовательность представляет собой всего лишь закрепившуюся историческую случайность, которая лишает нас большого количества удовольствия от того, что Дружкова называет «веселой вселенной» математики с ее 60 дисциплинами самого высокого уровня, тогда как ее проявления мы находим повсюду от ткачества до строительства, природы, музыки и искусства. Еще хуже то, что стандартная учебная программа начинается с арифметики, которая, по мнению Дружковой, является более сложной для детей, чем игровая деятельность, основанная, как принято считать, на более продвинутых разделах математики.

«Вычисления, которые дети вынуждены производить, часто являются столь неудачными с точки зрения развития, что само занятие превращается в пытку», — отмечает она. Кроме того, они упускают важный пункт, согласно которому математика по сути своей  имеет отношение к формулам и структурам, а не к «простым манипуляциям с числами», отмечает она. Это можно сравнить с молодыми кинематографистами, которые сначала изучают костюмы, освещение и технические аспекты, а не основы создания наполненных смыслом картин.

Подобный подход отвращает многих детей от математики в раннем возрасте. Он также не позволяет многим другим детям так эффективно и глубоко изучить математику, как они могли бы, если бы ситуация в этой области была иной. Дружкова и ее коллеги обратили внимание на то, что большинство взрослых, с которыми они встречались, рассказывали, по ее словам, «печальные истории о своем изучении математики». Они вспоминали о том, как один единственный курс или одна тема, такая как, например, дроби, выбивала их из колеи обычного процесса обучения. Она сама встречалась с немалым количеством взрослых, которые «не могли сдержать слез во время проведения интервью и рассказывали ей о своих страхах и утраченных надеждах в молодые годы».

Американский математик сделал простые числа менее одинокими
Дружкова, переселившаяся сюда с Украины и получившая ученую степень (PhD) в области математического образования в Соединенных Штатах, выступает за более целостный подход, который она называет «естественной математикой» (natural math), и именно такой метод она использует для преподавания математики как детям, в том числе ясельного возраста, так и взрослым. Свой подход она изложила в книге «Лапша Мебиуса: занимательная математика на детской площадке» (Moebius Noodles: Adventurous math for the playground crowd), которую она написала в соавторстве с Еленой Макманаман (Yelena McManaman). Суть этого подхода состоит во включении мощных и на удивление продуктивных инстинктов для игрового усвоения материала, а также в подборе индивидуального пути для тех, кто изучает этот предмет. «Исследования (то есть данное исследование, а также многие другие, упомянутые на проведенном симпозиуме) показали, что игры, в том числе свободные, являются для детей эффективным способом обучения, и он нравится самим детям. Они также указывают на движение к более структурированной и более творческой работе, связанной с усвоением, изменением и созданием математических формул», — подчеркивает Дружкова.

Нахождение соответствующего пути зависит от оценки часто не замечаемого факта, суть которого состоит в том, что «комплексность идеи и сложность, связанная с ее воплощением, являются, по мнению Дружковой, отдельными и независимыми измерениями. К сожалению, многое из того, что предлагается маленьким детям, является простым, но трудным – речь идет о примитивных идеях, которые человеческим существам трудно реализовать», поскольку они быстро достигают пределов возможности рабочей памяти, внимания, а также других когнитивных функций. Вот примеры активности, подпадающие под категорию «простые, но трудные»: выкопать ложкой траншею (наказание среди военных, состоящее из незначительных и однообразных работ, что похоже на выполнение 100 задач по сложению двузначных чисел на обычном рабочем листе, объясняет Дружкова) или запоминание таблицы умножения как состоящую из отдельных фактов, а не как определенные схемы (patterns).

Намного лучше, по ее мнению, начать создавать богатый социальный и математический опыт, который является сложным (позволяет двигаться в разных направлениях), но вместе с тем  легким (готовым к непосредственной игре). Вот занятия, попадающие в эту группу: построить дом с помощью блоков LEGO, сделать оригами или вырезать снежинки, а также использовать «функциональное устройство» (function box), способное трансформировать объекты (оно также может использоваться в комбинации со вторым устройством для составления функций или их видоизменения и т.д.)

Чувство справедливости и желание защищать слабых развилось в человеческом обществе благодаря биологической эволюции
Математик открыл эволюционные корни чувства справедливости человека
«Можно взять любую область математики и найти такие вещи, которые будут и трудными, и простыми, — подчеркивает Дружкова. – Моя задача, над выполнением которой я работаю вместе с несколькими коллегами в разных странах, состоит в том, чтобы извлечь сокровища математики и показать доступные пути к ним».

Она начала с алгебры, а также с дифференциального и интегрального исчисления, поскольку они являются «инструментом для создания формул, инструментом для дизайнера, инструментом творческого человека – они поддерживают прекрасную свободную игру». Поэтому программа «Лапша Мебиуса» (Moebius Noodles) включает такие виды активности, как составление фракталов (для проведения оценки идеи рекурсии и бесконечно малых величин), а также использование «зеркальных книг» (зеркала, скрепленные клейкой лентой как обложка книги; они могут быть размещены под различным углом по отношению к объекту для того, чтобы представить концепции бесконечности и трансформации). (Есть еще одна книга на эту тему – «Дифференциальное и интегральное исчисление для детей» (Calculus by and for Young People), автором которой является Дон Коэн (Don Cohen).

«Это не тот предмет дифференциального и интегрального исчисления, который изучается в институте, — объясняет Дружкова. – И прежде, чем мы там окажемся, мы хотим иметь практичную, основательную и метафоричную игру. На уровне свободной игры обучение происходит на весьма основательном уровне, и вы на самом деле становитесь обладателем вашей концепции – умственно, физически, эмоционально, культурно». Подобный подход «позволяет вам иметь глубокие корни, и поэтому конструкция больших абстракций не разрушается. То, что выучивается без игры, оказывается другим в качественном отношении. Полученные подобным образом знания помогают сдать экзамены и справиться с задачами повседневной жизни, но они ничего не делают  для поддержки логического мышления и способности решать задачи. Эти вещи отличны друг от друга, и вы не можете перейти из одной области в другую».

Дружкова не считает, что дети будут способны решать формальные уравнения в пять лет, но это нормально. «Существуют различные уровни понимания, — говорит она. – Не имеет смысла закрепощать людей слишком рано с помощью формального понимания». После неформального следует тот уровень, когда школьники обсуждают идеи и обращают внимание на формулы (patterns). Затем наступает формальный уровень, когда ученики получают возможность использовать абстрактные слова, графики и формулы. В идеальном варианте игровой аспект должен сохраняться в течение всего времени. «Именно этим и занимаются математики – они играют с абстрактными идеями, то есть продолжают играть».

Математики разрабатывают новые методы изучения интегрируемых систем
Дружкова отмечает, что естественная математика (natural math) – ее лозунг «сделай математику своей для того, чтобы сделать свою математику» — является, по существу, вариантом «движения за свободу». Она объясняет: «Мы продвигаемся в сторону свободы на многих уровнях – свободная игра маленьких детей, действия семей и местных групп для организации математической активности, автономность художников и творческих личностей и даже свобода для составителей программ… Ни одна часть математики не может быть единственно правильной для каждого. Люди различны, и поэтому им следует подходить к математике по-разному».

Так, например, в группе, изучающей особенности ромбов, склонный к искусству человек, возможно, предпочтет нарисовать ромб,  программист, наверное, напишет его код, философ, вероятно, обсудит основные характеристики ромба, а мастер по оригами, скорее всего, сделает ромб из бумаги.

Также следует сказать, что никто не должен изучать какой-то особый раздел математики, за исключением того, что является основным в функционировании его или ее культуры. Многие люди доживают до зрелого и счастливого преклонного возраста, не имея понятия, например, о том, что такое дифференциальное и интегральное исчисление. «В то же время мир будет более обеспеченным при наличии более высокого уровня грамотности в области математики, а человечество в целом нуждается в продвинутой математике для того, чтобы успешно прожить ближайшие 100 лет, поскольку мы сталкиваемся с довольно сложными проблемами».

Дети нуждаются в ознакомлении с различными математическими стилями для того, чтобы они могли найти именно тот вариант, который их больше всего устраивает. Но они также нуждаются в том, чтобы видеть, как значимые (для них) люди делают значимые вещи в области математики и получают от этого удовольствие. Математические круги, где люди помогают друг другу, быстро растут, и они представляют собой один из способов достижения этой цели. Математическое ноу-хау (деятельность и примеры) «должно появляться вместе с практикой для того, чтобы помочь новичкам в нем разобраться, — отмечает Дружкова. – Здесь в одиночку не работают».

Независимо от того, является ли обучение предельно эффективным и глубоким, принципиально важно, чтобы все делалось свободно». Это значит дать детям право голоса при решении вопроса о том, какой вид активности выбрать, на какое время и каким будут уровень усвоения, который они хотят достичь («В этом состоит самое большое несовпадение с традиционными программами», — отмечает Дружкова).

Детский сад, архивное фото
Годовалые дети понимают математику - ученые
Взрослые должны быть подготовлены к тому времени, когда ребенок, вероятнее всего, будет заниматься тем, что отличается от запланированной работы. «Роль взрослых, — подчеркивает Дружкова, — состоит в том, чтобы вдохновлять, говорить такие, к примеру, вещи: «О, какая сложная форма, ты обратил внимание на то, что данная кривая состоит из прямых линий?» Нужно устанавливать связь математики со всем тем, чем занимаются дети. Сделать это непросто – для этого требуется как педагогическое, так и концептуальное математическое знание, но оно может быть усвоено. И каждый человек легко может оказать общую поддержку: «Как это интересно, я хочу дальше исследовать этот вопрос». После этого можно воспользоваться интернетом, задать вопрос на каком-нибудь математическом форуме и выяснить, что это значит с точки зрения математики.

Полезно также иметь наготове целый набор интересного материала и не препятствовать, если детям потребуется устроить перерыв. Дружкова обращает внимание на то, что в большинстве групп находятся один или два ребенка, которые делают что-то другое, в то время как остальные занимаются по обычной программе. (Не участвующие в процессе  тем не менее усваивают большое количество материала, отмечает она).

Поддержка поступила в первую очередь от двух различных (и обычно противоположных) лагерей. Представители одного из них говорят: «Путь дети остаются детьми», и они обеспокоены тем, что легитимация идеи относительно обучения детей ясельного возраста интегральному и дифференциальному исчислению вместе с алгеброй может склонить строгих мам к тому, чтобы подтолкнуть своих детей в область формальных абстракций по этим предметам в еще более раннем возрасте, хотя это будет свидетельствовать о полном непонимании проблемы. Другие критики полагают, что нужно «вернуться к основам», и они утверждают, что все подобного рода игры мешают детям получить прочные навыки традиционных вычислений.

Дружкова рассматривает подобную критику как признак чего-то значительного большего: «Она, скорее, отражает глубокий разрыв между различными философиями образования или, если брать более широко, между различными вариантами будущего, которые мы готовим для детей. Если мы задаем большое количество одинаковых заданий, мы рассматриваем детей в ситуации, которая требует производственной точности». С другой стороны, когда детям дают логические головоломки или открытые проекты, это свидетельствуют о том, что из них хотят сделать исследователей или дизайнеров. «Это не работает так прямо, — признается она. – Однако подобные представления определяют то, какой вид математического образования взрослые выбирают или создают для детей».

Математика. Архив
Ученые: математика подвластна лишь знающим цифры
Некоторые люди выражают беспокойство по поводу того, может ли подобный подход применяться по отношению к самой бесправной части населения. Дружкова считает, что его может использовать любой «минимально грамотный» взрослый; главное состоит в том, чтобы иметь на месте правильную сеть поддержки. Она и ее  коллеги стремятся к тому, чтобы наделить полномочиями местные сети и облегчить доступность на всех фронтах: математическом, культурном и финансовом. Они сделали свои собственные материалы и курсы открытыми в рамках организации Creative Commons и разработали виды активности, для которых можно использовать самые доступные материалы.

«Происходит накопление ноу-хау относительно создания сконцентрированного вокруг местного сообщества открытого образования, доступного для наиболее обездоленных слоев  населения», — отмечает Дружкова, ссылаясь на эксперименты, проведенные Сугата Митра (Sugata Mitra) и Дэйвом Эггерсом (Dave Eggers). Онлайновые узлы имеют возможность связывать одинаково настроенных членов местного сообщества, и, кроме того, доступными являются онлайновые курсы и поддержка для родителей, учителей и подростков, которые хотят возглавлять местные группы.

По мнению Дружковой, один из самых больших вызовов состоит в сформировавшемся складе ума взрослых людей. Родители склонны воспроизводить «старые ужасные дни»  изучения математики для своих детей, считает Дружкова. Однако, когда речь заходит об играх с интегральным и дифференциальным исчислением, а также с алгеброй, «родители говорят, что они сами получают новый старт… Они вновь имеют возможность испытать удовольствие от математических игр, как дети в новом мире».

Оригинал публикации здесь

Открытия
Партнеры



Наверх
Авторизация
He правильное имя пользователя или пароль
Войти через социальные сети
Регистрация
E-mail
Пароль
Подтверждение пароля
Введите код с картинки
He правильное имя пользователя или пароль
* Все поля обязательны к заполнению
Восстановление пароля
E-mail
Инструкции для восстановления пароля высланы на
Смена региона
Идет загрузка...
Произошла ошибка... Повторить
правила комментирования материалов

Регистрация пользователя в сервисе РИА Клуб на сайте Ria.Ru и авторизация на других сайтах медиагруппы МИА «Россия сегодня» при помощи аккаунта или аккаунтов пользователя в социальных сетях обозначает согласие с данными правилами.

Пользователь обязуется своими действиями не нарушать действующее законодательство Российской Федерации.

Пользователь обязуется высказываться уважительно по отношению к другим участникам дискуссии, читателям и лицам, фигурирующим в материалах.

Публикуются комментарии только на тех языках, на которых представлено основное содержание материала, под которым пользователь размещает комментарий.

На сайтах медиагруппы МИА «Россия сегодня» может осуществляться редактирование комментариев, в том числе и предварительное. Это означает, что модератор проверяет соответствие комментариев данным правилам после того, как комментарий был опубликован автором и стал доступен другим пользователям, а также до того, как комментарий стал доступен другим пользователям.

Комментарий пользователя будет удален, если он:

  • не соответствует тематике страницы;
  • пропагандирует ненависть, дискриминацию по расовому, этническому, половому, религиозному, социальному признакам, ущемляет права меньшинств;
  • нарушает права несовершеннолетних, причиняет им вред в любой форме;
  • содержит идеи экстремистского и террористического характера, призывает к насильственному изменению конституционного строя Российской Федерации;
  • содержит оскорбления, угрозы в адрес других пользователей, конкретных лиц или организаций, порочит честь и достоинство или подрывает их деловую репутацию;
  • содержит оскорбления или сообщения, выражающие неуважение в адрес МИА «Россия сегодня» или сотрудников агентства;
  • нарушает неприкосновенность частной жизни, распространяет персональные данные третьих лиц без их согласия, раскрывает тайну переписки;
  • содержит ссылки на сцены насилия, жестокого обращения с животными;
  • содержит информацию о способах суицида, подстрекает к самоубийству;
  • преследует коммерческие цели, содержит ненадлежащую рекламу, незаконную политическую рекламу или ссылки на другие сетевые ресурсы, содержащие такую информацию;
  • имеет непристойное содержание, содержит нецензурную лексику и её производные, а также намёки на употребление лексических единиц, подпадающих под это определение;
  • содержит спам, рекламирует распространение спама, сервисы массовой рассылки сообщений и ресурсы для заработка в интернете;
  • рекламирует употребление наркотических/психотропных препаратов, содержит информацию об их изготовлении и употреблении;
  • содержит ссылки на вирусы и вредоносное программное обеспечение;
  • является частью акции, при которой поступает большое количество комментариев с идентичным или схожим содержанием («флешмоб»);
  • автор злоупотребляет написанием большого количества малосодержательных сообщений, или смысл текста трудно либо невозможно уловить («флуд»);
  • автор нарушает сетевой этикет, проявляя формы агрессивного, издевательского и оскорбительного поведения («троллинг»);
  • автор проявляет неуважение к русскому языку, текст написан по-русски с использованием латиницы, целиком или преимущественно набран заглавными буквами или не разбит на предложения.

Пожалуйста, пишите грамотно — комментарии, в которых проявляется пренебрежение правилами и нормами русского языка, могут блокироваться вне зависимости от содержания.

Администрация имеет право без предупреждения заблокировать пользователю доступ к странице в случае систематического нарушения или однократного грубого нарушения участником правил комментирования.

Пользователь может инициировать восстановление своего доступа, написав письмо на адрес электронной почты moderator@rian.ru

В письме должны быть указаны:

  • Тема – восстановление доступа
  • Логин пользователя
  • Объяснения причин действий, которые были нарушением вышеперечисленных правил и повлекли за собой блокировку.

Если модераторы сочтут возможным восстановление доступа, то это будет сделано.

В случае повторного нарушения правил и повторной блокировки доступ пользователю не может быть восстановлен, блокировка в таком случае является полной.

Чтобы связаться с командой модераторов, используйте адрес электронной почты moderator@rian.ru или воспользуйтесь формой обратной связи.