Борис Владимирович Клюев родился 13 июля 1944 года в Москве.
В 1969 году окончил Высшее театральное училище имени Михаила Щепкина.
В 1967 году Клюев дебютировал в кино, сыграв роль немецкого офицера в фильме "Конец "Сатурна".
Фильмография артиста насчитывает более 100 фильмов. Наиболее заметные из его работ - роли в фильмах "Д’Артаньян и три мушкетера" (1978) и "ТАСС уполномочен заявить…" (1984).
В 1970 году Клюев получил первую заметную театральную роль в спектакле "Так и будет".
За 50-летнюю карьеру он стал одним из ведущих актеров Малого театра, где сыграл более 70 ролей.
С 1969 года Борис Клюев с перерывом преподавал в Высшем театральном училище имени Щепкина, где был заведующим кафедрой мастерства актера.
У Клюева было более 200 учеников, среди которых артисты Кристина Асмус, Егор Бероев, Елена Великанова и другие.
Клюев получил множество наград, включая ордена Дружбы (1999), Почета (2008) и "За заслуги перед Отечеством" IV степени (2019). В 2002 году ему присвоили звание народного артиста России.
Актер много снимался в телесериалах. Молодежь знает его по ролям в сериалах "Воронины", "Физрук" и "Улицы разбитых фонарей".
Клюев был трижды женат. Его единственный сын умер в 1993 году от сердечной недостаточности.
В 2018 году у Клюева выявили онкологическое заболевание. Артист продолжал работать, несмотря на недуг.