Юнус-Бек Баматгиреевич Евкуров родился 29 июля 1963 года в селе Тарское Пригородного района Осетинской АССР, ингуш. В Вооруженных силах с 1982 года. В 1989 году окончил Рязанское воздушно-десантное командное училище, в 1997 году - Военную академию имени Фрунзе, в 2004 году - Военную академию Генерального штаба.
Служил на различных командных должностях в Воздушно-десантных войсках. Принимал активное участие в контртеррорестических операциях в Северо-Кавказском регионе.
Будучи начальником штаба 217-го гвардейского парашютно-десантного полка (98-я гвардейская Свирская воздушно-десантная дивизия) подполковник Евкуров, выполняя задание во главе группы десантников по разведке местности, освободил из плена двенадцать российских военнослужащих.
Указом президента РФ от 13 апреля 2000 года за мужество и героизм, проявленные при наведении конституционного порядка в Северо-Кавказском регионе, гвардии подполковнику Евкурову Юнус-Беку Баматгиреевичу присвоено звание Героя России.
С 2004 года гвардии полковник Евкуров служил заместителем начальника разведывательного управления Приволжско-Уральского военного округа (Екатеринбург).
30 октября 2008 года в соответствии с указом президента России Дмитрия Медведева "О досрочном прекращении полномочий Президента Республики Ингушетия" назначен временно исполняющим обязанности главы республики на период до вступления в должность лица, наделенного полномочиями президента Республики Ингушетия в связи с отставкой Мурата Зязикова.
На следующий день, 31 октября 2008 года в соответствии со статьей 18 Федерального закона от 6 октября 1999 года № 184-ФЗ "Об общих принципах организации законодательных (представительных) и исполнительных органов государственной власти субъектов Российской Федерации" кандидатура Евкурова была внесена на рассмотрение Народным Собранием Республики Ингушетия для его утверждения на должность Президента Республики Ингушетия (за назначение проголосовали 16 депутатов, один высказался против, еще один бюллетень оказался недействительным).